Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{3 x}{2}$ . Entonces $d u = \frac{3}{2} d x$ , de modo que $\frac{2}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{3 x}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $2$ de $3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

Paso 1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

Paso 1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

Paso 1.3.1.2.4

Divide $3 \cdot 0$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Paso 1.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

Paso 1.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

Paso 2.3

Combina $5^{u}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

Paso 2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $5^{u}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

Paso 4

La integral de $5^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

Paso 5

Combina $\frac{2}{3}$ y $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ en $\frac{3}{2}$ y en $0$ .

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

Paso 6.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

Paso 7.2

Combina $2$ y $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

Paso 7.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 7.4

Combinar.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

Paso 7.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

Paso 7.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (5)$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Forma decimal:

$4.21693387 \dots$

Paso 9