Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{6 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{6}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el exponente $4$ de ${(3 + x)}^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $81$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + 0)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $81$ de $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(3 + x)}^{4} - 81$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 3 + x$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Como $- 81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Suma $4 {(3 + x)}^{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{1}$

Paso 2.4

Divide $4 {(3 + x)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} 4 {(3 + x)}^{3}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{3}$

Paso 3.2

Mueve el exponente $3$ de ${(3 + x)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{3}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Paso 5.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Paso 5.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Paso 5.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot 2 {(3 + 0)}^{3}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\frac{2}{3} {(3 + 0)}^{3}$

Paso 5.3

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3$ de $3^{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 3^{2}$

Paso 5.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 \cdot 9$

Paso 5.6

Multiplica $2$ por $9$ .

$18$