Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- \frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{6} x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.5

Combina $\frac{- 4}{6}$ y $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.4

Combina $- 3$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.6

Combina $\frac{- 6}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.7

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 1.2.2.7.1

Factoriza $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2.7.2.4

Divide $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{2} + 2$ .

$- 2 x^{2} + 2$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 x^{2} + 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Paso 2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = - 2$

Paso 2.3

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $- 2$ por $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

Paso 3.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Paso 3.1.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Paso 3.1.2.2.3

Suma $- 1$ y $6$ .

$f (1) = \frac{5}{6}$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ es $(1, \frac{5}{6})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, \frac{5}{6})$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.1.1

Mueve ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Multiplica ${(- 1)}^{4}$ por $- 1$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Suma $4$ y $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

Paso 3.3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Paso 3.3.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Paso 3.3.2.2.3

Suma $- 1$ y $6$ .

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ es $(- 1, \frac{5}{6})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, \frac{5}{6})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

Paso 5.2.2

Suma $- 2.42$ y $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.42$ .

$- 0.42$

Paso 5.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $- 0.42$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 1, 1)$ .

Incremento en $(- 1, 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

Paso 7.2.2

Suma $- 2.42$ y $2$ .

$f'' (1.1) = - 0.42$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 0.42$ .

$- 0.42$

Paso 7.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $- 0.42$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ .

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

Paso 9