Cálculo Ejemplos

$x^{5} + 5 x^{4}$

Paso 1

Escribe $x^{5} + 5 x^{4}$ como una función.

$f (x) = x^{5} + 5 x^{4}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3})$

Paso 2.1.1.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} + 20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$20 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $20 x^{2}$ de $20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Factoriza $20 x^{2}$ de $20 x^{3}$ .

$20 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza $20 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (3) = 0$

Paso 2.2.2.3

Factoriza $20 x^{2}$ de $20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (3)$ .

$20 x^{2} (x + 3) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $20 x^{2} (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = 20 {(- 6)}^{3} + 60 {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6) = 20 \cdot - 216 + 60 {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 216$ .

$f'' (- 6) = - 4320 + 60 {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = - 4320 + 60 \cdot 36$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $60$ por $36$ .

$f'' (- 6) = - 4320 + 2160$

Paso 5.2.2

Suma $- 4320$ y $2160$ .

$f'' (- 6) = - 2160$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 2160$ .

$- 2160$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = 20 {(- 2)}^{3} + 60 {(- 2)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = 20 \cdot - 8 + 60 {(- 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 160 + 60 {(- 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = - 160 + 60 \cdot 4$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $60$ por $4$ .

$f'' (- 2) = - 160 + 240$

Paso 6.2.2

Suma $- 160$ y $240$ .

$f'' (- 2) = 80$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $80$ .

$80$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 3, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es positiva.

Convexo en $(- 3, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = 20 {(2)}^{3} + 60 {(2)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = 20 \cdot 8 + 60 {(2)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $20$ por $8$ .

$f'' (2) = 160 + 60 {(2)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = 160 + 60 \cdot 4$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $60$ por $4$ .

$f'' (2) = 160 + 240$

Paso 7.2.2

Suma $160$ y $240$ .

$f'' (2) = 400$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $400$ .

$400$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 3, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9