Cálculo Ejemplos

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Paso 1.2

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Paso 1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Paso 1.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

Paso 4

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Simplifica $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 5.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Paso 5.1.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Paso 5.1.4

Aplica la identidad pitagórica.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 5.1.5

Reescribe $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Paso 5.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Paso 5.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $\cos (t)$ de $\sin (t) (2 \cos (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Paso 5.2.1.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Paso 5.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

Paso 5.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Convierte de $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Paso 8

La integral de $\csc (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$