Cálculo Ejemplos

$y + x^{3} y - 5 x = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y + x^{3} y - 5 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y + x^{3} y - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

$y' + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y' + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Resta $3 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} y' + y' - 5 = - 3 x^{2} y$

Paso 5.1.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} y' + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $x^{3} y' + y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.2.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' x^{3} + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' x^{3} + y' \cdot 1$ .

$y' (x^{3} + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$y' (x^{3} + 1^{3}) = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.5

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ por $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ por $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Paso 5.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común de $x^{2} - x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Paso 5.6.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$