Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(2 - 3 x)}^{2}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(2 - 3 x)}^{2} d x$

Paso 3

Sea $u = 2 - 3 x$ . Entonces $d u = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 2 - 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $2 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 3.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Paso 3.1.4

Resta $3$ de $0$ .

$- 3$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{- 3} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int u^{2} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 4.2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{2}}{3} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{u^{2}}{3} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int u^{2} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3} u^{3} + C$

Paso 8.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9} u^{3} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 3 x$ .

$- \frac{1}{9} {(2 - 3 x)}^{3} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(2 - 3 x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{9} {(2 - 3 x)}^{3} + C$