Cálculo Ejemplos

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} 9 θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Paso 1

Dado que $9$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Paso 2

Sea $u = θ^{2}$ . Entonces $d u = 2 θ d θ$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = θ^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $θ^{2}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 θ$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $θ$ en $u = θ^{2}$ .

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{π}{2}}$ como $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Paso 2.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Paso 2.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Paso 2.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Paso 2.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Paso 2.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Paso 2.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Paso 2.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Paso 2.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Paso 2.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Paso 2.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Paso 2.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 2.3.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

Paso 2.3.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Reescribe ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ como $π \cdot 2$ .

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Paso 2.3.6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{π \cdot 2}$ como ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.3.6.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Paso 2.3.6.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 2.3.6.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.6.1.4.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 2.3.6.1.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Paso 2.3.6.1.5

Simplifica.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

Paso 2.3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

Paso 2.3.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Paso 2.3.8

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.8.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Paso 2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $θ$ en $u = θ^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Paso 2.5

Reescribe ${\sqrt{π}}^{2}$ como $π$ .

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Paso 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{π}$ como $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π^{1}$

Paso 2.5.5

Simplifica.

$u_{upper} = π$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

Paso 3.2

Combina $\frac{u}{2}$ y $\cos (u)$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

Paso 6

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

Paso 7

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $u \sin (u)$ en $π$ y en $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Paso 8.2

Evalúa $- \cos (u)$ en $π$ y en $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Combina $\sin (\frac{π}{2})$ y $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Paso 8.3.2

Para escribir $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

Paso 8.3.3

Combina $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Paso 8.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Paso 8.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Paso 9.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Paso 9.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Paso 9.4

Suma $- \cos (π)$ y $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

Paso 9.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Paso 9.6

Para escribir $π \sin (π)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Paso 9.7

Combina $π \sin (π)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Paso 9.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

Paso 9.9

Mueve $2$ a la izquierda de $π \sin (π)$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

Paso 9.10

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{2 \cdot 2}$

Paso 9.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{9 (2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Paso 10.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{9 (2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Paso 10.3

Multiplica $2 π \cdot 0$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{9 (0 π - π + 2 \cos (π))}{4}$

Paso 10.3.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Paso 10.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{9 (0 - π + 2 (- \cos (0)))}{4}$

Paso 10.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 (- 1 \cdot 1))}{4}$

Paso 10.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cdot - 1)}{4}$

Paso 10.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{9 (0 - π - 2)}{4}$

Paso 10.8

Resta $π$ de $0$ .

$\frac{9 (- π - 2)}{4}$

Paso 10.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (- π) + 9 \cdot - 2}{4}$

Paso 10.10

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{- 9 π + 9 \cdot - 2}{4}$

Paso 10.11

Multiplica $9$ por $- 2$ .

$\frac{- 9 π - 18}{4}$

Paso 10.12

Factoriza $- 1$ de $- 9 π$ .

$\frac{- (9 π) - 18}{4}$

Paso 10.13

Reescribe $- 18$ como $- 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π) - 1 (18)}{4}$

Paso 10.14

Factoriza $- 1$ de $- (9 π) - 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π + 18)}{4}$

Paso 10.15

Reescribe $- (9 π + 18)$ como $- 1 (9 π + 18)$ .

$\frac{- 1 (9 π + 18)}{4}$

Paso 10.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9 π + 18}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{9 π + 18}{4}$

Forma decimal:

$- 11.56858347 \dots$