Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Paso 3.2.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Paso 3.2.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Paso 3.2.6.2

Suma $1$ y $4$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sqrt{x} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{7}) x^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $2$ y $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$