Cálculo Ejemplos

$- x y^{3} + 5 y = 3 - x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} + 5 y) = \frac{d}{d x} (3 - x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x y^{3} + 5 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.2.7

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 y'$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} + 5 y'$

Paso 2.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} + 5 y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Paso 3.3

Resta $3 x^{2}$ de $0$ .

$- 3 x^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $y^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} x y' + 5 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} x y'$ .

$y' (- 3 y^{2} x) + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $5 y'$ .

$y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5 = - 3 x^{2} + y^{3}$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5$ .

$y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ por $- 3 y^{2} x + 5$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ por $- 3 y^{2} x + 5$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3 y^{2} x + 5$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $y^{3}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Paso 5.3.3.5

Reescribe $- (3 x^{2} - y^{3})$ como $- 1 (3 x^{2} - y^{3})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Paso 5.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) + 5}$

Paso 5.3.3.7

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)}$

Paso 5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x - 5)}$

Paso 5.3.3.9

Reescribe $- (3 y^{2} x - 5)$ como $- 1 (3 y^{2} x - 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

Paso 5.3.3.10

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

Paso 5.3.3.11

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$