Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - \frac{5}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Paso 3.3

Como $- \frac{5}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Paso 3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Combina $e^{x}$ y $\frac{5}{4}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.4

Resta $\frac{5 e^{x}}{4}$ de $e^{x} x^{2}$ .

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Paso 4.4.1

Reordena $e^{x}$ y $x^{2}$ .

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.4.2

Para escribir $x^{2} e^{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.4.3

Combina $x^{2} e^{x}$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.5.2

Factoriza $e^{x}$ de $4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ .

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Paso 4.5.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $4 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.5.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 5 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.5.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

Paso 4.6

Para escribir $2 e^{x} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.7

Combina $2 e^{x} x$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Paso 4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Paso 4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ .

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Paso 4.9.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x} x \cdot 4$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

Paso 4.9.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

Paso 4.9.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

Paso 4.9.3

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

Paso 4.9.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.9.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 4.9.4.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

Paso 4.9.4.1.2

Reescribe $8$ como $- 2$ más $10$

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

Paso 4.9.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

Paso 4.9.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.9.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

Paso 4.9.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

Paso 4.9.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$