Cálculo Ejemplos

$S (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} t^{3} - 3.5 t^{2} + 10 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{1}{3} t^{3}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.2.5.2

Divide $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 3.5 t^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 3.5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3.5 t^{2}$ con respecto a $t$ es $- 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 3.5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t^{2} - 3.5 (2 t) + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 3.5$ .

$t^{2} - 7 t + \frac{d}{d t} [10 t]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d t} [10 t]$ .

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Paso 1.4.1

Como $10$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $10 t$ con respecto a $t$ es $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t^{2} - 7 t + 10 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$f' (t) = t^{2} - 7 t + 10$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - 7 t + 10$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 7 t] + \frac{d}{d t} [10]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 7 t]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 7 t$ con respecto a $t$ es $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 t - 7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 t - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$2 t - 7 + \frac{d}{d t} [10]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $10$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $10$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 t - 7 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $2 t - 7$ y $0$ .

$f'' (t) = 2 t - 7$

Paso 3

La segunda derivada de $S (t)$ con respecto a $t$ es $2 t - 7$ .

$2 t - 7$