Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x - 6$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x - 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 8.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 8.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 8.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 8.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 8.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

Paso 11

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 12.2

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 12.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 12.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 12.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica.

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Paso 14.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Paso 14.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Paso 14.2

Simplifica.

$3 u^{\frac{1}{2}} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Paso 14.3

Simplifica.

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Paso 14.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Paso 14.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Paso 14.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.3.3.1

Cancela el factor común.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Paso 14.3.3.2

Reescribe la expresión.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 6$ .

$3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$