Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2.5

Combina $\frac{- 4}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.4

Divide $- 2 x^{3}$ por $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $42$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $42 x^{2}$ con respecto a $x$ es $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 42 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $42$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 84 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{3} + 84 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [84 x]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [84 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [84 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $84$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $84 x$ con respecto a $x$ es $84 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 84 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $84$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 84$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 x^{2} + 84$ .

$- 6 x^{2} + 84$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 6 x^{2} + 84 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 6 x^{2} + 84 = 0$

Paso 2.2

Resta $84$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 x^{2} = - 84$

Paso 2.3

Divide cada término en $- 6 x^{2} = - 84$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 6 x^{2} = - 84$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 84}{- 6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 84}{- 6}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 84}{- 6}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $- 84$ por $- 6$ .

$x^{2} = 14$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{14}$

Paso 2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{14}$

Paso 2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{14}$

Paso 2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{14}, - \sqrt{14}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\sqrt{14}$ en $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{14}$ en la expresión.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt{14})}^{4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{14}}^{4}$ como $14^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(14^{\frac{1}{2}})}^{4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{4}{2}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.1.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2}{1}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{2} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 196 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot 196 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $196$ .

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{14}) = - 1 \cdot 98 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $98$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

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Paso 3.1.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.1.2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.1.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.1.2.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.1.2.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Paso 3.1.2.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Paso 3.1.2.1.6

Multiplica $42$ por $14$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 588$

Paso 3.1.2.2

Suma $- 98$ y $588$ .

$f (\sqrt{14}) = 490$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $490$ .

$490$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\sqrt{14}$ en $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ es $(\sqrt{14}, 490)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\sqrt{14}, 490)$

Paso 3.3

Sustituye $- \sqrt{14}$ en $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{14}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(- \sqrt{14})}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{14}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{4} {\sqrt{14}}^{4}) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{4}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2})) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{2}) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Suma $4$ y $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{2}) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{14}}^{4}$ como $14^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(14^{\frac{1}{2}})}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{4}{2}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1.4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2}{1}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.4.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{2} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.5

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 196 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot 196 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.6.2

Factoriza $2$ de $196$ .

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{14}) = - 1 \cdot 98 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $98$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.8

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{14}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{14}}^{2})$

Paso 3.3.2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 (1 {\sqrt{14}}^{2})$

Paso 3.3.2.1.10

Multiplica ${\sqrt{14}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {\sqrt{14}}^{2}$

Paso 3.3.2.1.11

Reescribe ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.2.1.11.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.11.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.2.1.11.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Paso 3.3.2.1.11.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

Paso 3.3.2.1.12

Multiplica $42$ por $14$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 588$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 98$ y $588$ .

$f (- \sqrt{14}) = 490$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $490$ .

$490$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \sqrt{14}$ en $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ es $(- \sqrt{14}, 490)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \sqrt{14}, 490)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\sqrt{14}, 490), (- \sqrt{14}, 490)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \sqrt{14}) \cup (- \sqrt{14}, \sqrt{14}) \cup (\sqrt{14}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt{14})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.84165738$ en la expresión.

$f'' (- 3.84165738) = - 6 {(- 3.84165738)}^{2} + 84$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3.84165738$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 6 \cdot 14.75833147 + 84$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $14.75833147$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 88.54998886 + 84$

Paso 5.2.2

Suma $- 88.54998886$ y $84$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 4.54998886$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 4.54998886$ .

$- 4.54998886$

Paso 5.3

En $- 3.84165738$ , la segunda derivada es $- 4.54998886$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \sqrt{14})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \sqrt{14})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 84$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 84$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $84$ .

$f'' (0) = 84$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $84$ .

$84$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $84$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ .

Incremento en $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt{14}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.84165738$ en la expresión.

$f'' (3.84165738) = - 6 {(3.84165738)}^{2} + 84$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $3.84165738$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3.84165738) = - 6 \cdot 14.75833147 + 84$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $14.75833147$ .

$f'' (3.84165738) = - 88.54998886 + 84$

Paso 7.2.2

Suma $- 88.54998886$ y $84$ .

$f'' (3.84165738) = - 4.54998886$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 4.54998886$ .

$- 4.54998886$

Paso 7.3

En $3.84165738$ , la segunda derivada es $- 4.54998886$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\sqrt{14}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\sqrt{14}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \sqrt{14}, 490), (\sqrt{14}, 490)$ .

$(- \sqrt{14}, 490), (\sqrt{14}, 490)$

Paso 9