Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{5 x - 2}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{5 x - 2} d x$

Paso 3

Sea $u = 5 x - 2$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 5 x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $5 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 2]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $5$ y $0$ .

$5$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

Paso 4.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x - 2$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 x - 2 |) + C$

Paso 9

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{5 x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \ln (| 5 x - 2 |) + C$