Cálculo Ejemplos

$x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ .

$\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = arctanh (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [arctanh (x)] + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Paso 2.2

La derivada de $arctanh (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Paso 2.4

Combina $x$ y $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Paso 2.5

Multiplica $arctanh (x)$ por $1$ .

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Paso 2.6

Para escribir $arctanh (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 - x^{2}} + \frac{arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x^{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Paso 3.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Paso 3.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Paso 3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Paso 3.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Paso 3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Paso 3.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Paso 3.14

Resta $2 x$ de $0$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Paso 3.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Paso 3.16

Combina $- 2$ y $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Paso 3.17

Combina $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Paso 3.18

Mueve ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.19

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 3.20.2

Cancela el factor común.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.20.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3.22

Multiplica $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.23

Multiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.23.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 3.23.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Paso 3.23.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.23.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Paso 3.24

Simplifica ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + arctanh (x) \cdot 1 + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Multiplica $arctanh (x)$ por $1$ .

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) - x}{1 - x^{2}}$

Paso 4.2.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) + 0}{1 - x^{2}}$

Paso 4.2.4

Suma $arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})$ y $0$ .

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Factoriza $arctanh (x)$ de $- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $arctanh (x)$ de $- x^{2} arctanh (x)$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1}{- x^{2} + 1}$

Paso 4.4.1.3

Factoriza $arctanh (x)$ de $arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1)}{- x^{2} + 1}$

Paso 4.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1^{2})}{- x^{2} + 1}$

Paso 4.4.3

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (1^{2} - x^{2})}{- x^{2} + 1}$

Paso 4.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1}$

Paso 4.5

Simplifica el denominador.

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Paso 4.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.5.2

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{1^{2} - x^{2}}$

Paso 4.5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 4.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Paso 4.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 4.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.7.2

Divide $arctanh (x)$ por $1$ .

$arctanh (x)$