Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x - 6}{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 6$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.3.6

Combina fracciones.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Paso 1.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Resta $- 6$ de $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Paso 1.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 1.4.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Paso 1.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Paso 1.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Paso 1.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

Paso 2.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.1

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{- 6}{2}$ y $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

Paso 2.4.4

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

Paso 2.4.5

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 2.4.5.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Paso 2.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

Paso 2.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Paso 2.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{x^{3}}$

Paso 2.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 x^{- 4})$

Paso 3.4

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$9 x^{- 4}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 3.5.2

Combina $9$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{9}{x^{4}}$