Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ on $- 3$ , $1$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.5

Combina $\frac{12}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 1.1.1.2.6.1

Factoriza $3$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.6.2.4

Divide $4 x^{2}$ por $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$4 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{2} - 4 + 0$

Paso 1.1.1.4.2

Suma $4 x^{2} - 4$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 4$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{2} - 4$ .

$4 x^{2} - 4$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{2} - 4 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{2} - 4 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} = 4$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $4 x^{2} = 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{4}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $4$ por $4$ .

$x^{2} = 1$

Paso 1.2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 1.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

Paso 1.4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 1.4.1.2.2.1

Escribe $- 4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Paso 1.4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

Paso 1.4.1.2.2.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Paso 1.4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.4.1.2.2.6

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 1.4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

Paso 1.4.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

Paso 1.4.1.2.4.2

Resta $12$ de $4$ .

$\frac{- 8 + 3}{3}$

Paso 1.4.1.2.4.3

Suma $- 8$ y $3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Paso 1.4.1.2.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{3}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{4 {(- 1)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Paso 1.4.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 4 + 1$

Paso 1.4.2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 1.4.2.2.2.1

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} + 1$

Paso 1.4.2.2.2.2

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Paso 1.4.2.2.2.3

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 1$

Paso 1.4.2.2.2.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Paso 1.4.2.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.4.2.2.2.6

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 1.4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 + 4 \cdot 3 + 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.2.4.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{- 4 + 12 + 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.4.2

Suma $- 4$ y $12$ .

$\frac{8 + 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.4.3

Suma $8$ y $3$ .

$\frac{11}{3}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, - \frac{5}{3}), (- 1, \frac{11}{3})$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$\frac{4 {(- 3)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 3)}^{3}$ y $3$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{4 {(- 1 (3))}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (3)$ .

$\frac{4 ({(- 1)}^{3} \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.1.4

Factoriza $3$ de $4 (- 1 \cdot 3^{3})$ .

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.1.1.5.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 (1)} - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 \cdot 1} - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{2})}{1} - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.1.5.4

Divide $4 (- 1 \cdot 3^{2})$ por $1$ .

$4 (- 1 \cdot 3^{2}) - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$4 (- 1 \cdot 9) - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $4 (- 1 \cdot 9)$ .

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Paso 2.1.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$4 \cdot - 9 - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.3.2

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$- 36 - 4 \cdot - 3 + 1$

Paso 2.1.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$- 36 + 12 + 1$

Paso 2.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.1.2.2.1

Suma $- 36$ y $12$ .

$- 24 + 1$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $- 24$ y $1$ .

$- 23$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

Paso 2.2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.2.2.1

Escribe $- 4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Paso 2.2.2.2.3

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

Paso 2.2.2.2.4

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Paso 2.2.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.2.2.2.6

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 2.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

Paso 2.2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.4.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

Paso 2.2.2.4.2

Resta $12$ de $4$ .

$\frac{- 8 + 3}{3}$

Paso 2.2.2.4.3

Suma $- 8$ y $3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Paso 2.2.2.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{3}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 3, - 23), (1, - \frac{5}{3})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, \frac{11}{3})$

Mínimo absoluto: $(- 3, - 23)$

Paso 4