Cálculo Ejemplos

$\int \frac{{(x^{3} - 2 x)}^{3}}{x^{3}} d x$

Paso 1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3} d x$

Paso 3

Expande ${(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3}$ .

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Paso 3.1

Usa el teorema del binomio.

$\int ({(x^{3})}^{3} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Paso 3.2

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int (x^{3} {(x^{3})}^{2} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Paso 3.3

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Paso 3.4

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Paso 3.5

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Paso 3.6

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x {(- 2 x)}^{2}) x^{- 3} d x$

Paso 3.7

Reescribe la exponenciación como un producto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} d x$

Paso 3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Paso 3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x)) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Paso 3.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{3} (x^{3} x^{3}) x^{- 3} + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Paso 3.11

Mueve $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 x^{3} \cdot - 2 x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Paso 3.12

Mueve $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Paso 3.13

Mueve $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Paso 3.14

Mueve los paréntesis.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Paso 3.15

Mueve los paréntesis.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Paso 3.16

Mueve $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Paso 3.17

Mueve $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} d x$

Paso 3.18

Mueve los paréntesis.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.19

Mueve los paréntesis.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.20

Mueve $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{3 + 3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.22

Suma $3$ y $3$ .

$\int x^{6} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.23

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6 + 3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.24

Suma $6$ y $3$ .

$\int x^{9} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{9 - 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.26

Resta $3$ de $9$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.27

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.28

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6} - 6 x^{3 + 3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.29

Suma $3$ y $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{6} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.30

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{6} - 6 (x^{6} x^{1}) x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.31

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6} - 6 x^{6 + 1} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.32

Suma $6$ y $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{7} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.33

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6} - 6 x^{7 - 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.34

Resta $3$ de $7$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.35

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} - 6 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.36

Multiplica $- 6$ por $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.37

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{3} x^{1}) x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.38

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3 + 1} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.39

Suma $3$ y $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.40

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{4} x^{1}) x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.41

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4 + 1} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.42

Suma $4$ y $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.43

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5 - 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.44

Resta $3$ de $5$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.45

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} + 4 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.46

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.47

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x) x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.48

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x^{1}) x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.49

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{1 + 1} x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.50

Suma $1$ y $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2} x \cdot x^{- 3} d x$

Paso 3.51

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{2} x^{1}) x^{- 3} d x$

Paso 3.52

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2 + 1} x^{- 3} d x$

Paso 3.53

Suma $2$ y $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3} x^{- 3} d x$

Paso 3.54

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3 - 3} d x$

Paso 3.55

Resta $3$ de $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{0} d x$

Paso 3.56

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 \cdot 1 d x$

Paso 3.57

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{6} d x + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Paso 6

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Paso 8

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int - 8 d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

Paso 11.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 8 x + C$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{6 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{6}{5} x^{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$