Cálculo Ejemplos

$\int \frac{9 x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Paso 1

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int \frac{x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{8} + 9$ . Entonces $d u = 8 x^{7} d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{8} + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{8} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 9]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{8} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x^{7} + 0$

Paso 2.1.5

Suma $8 x^{7}$ y $0$ .

$8 x^{7}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$9 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Paso 3.2

Mueve $8$ a la izquierda de $u$ .

$9 \int \frac{1}{8 u} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{8}$ y $9$ .

$\frac{9}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{9}{8} (\ln (| u |) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{9}{8} \ln (| u |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{8} + 9$ .

$\frac{9}{8} \ln (| x^{8} + 9 |) + C$