Cálculo Ejemplos

$\frac{y}{3 y^{2} - x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y}{3 y^{2} - x}$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 y^{2} - x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 y^{2} - x}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{3 y^{2} - x}$ como ${(3 y^{2} - x)}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(3 y^{2} - x)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 3 y^{2} - x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 y^{2} - x$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 y^{2} - x])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 y^{2} - x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 y^{2} - x$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 y^{2} - x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 3.2

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.5

Multiplica.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y (1 {(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5.2

Multiplica ${(3 y^{2} - x)}^{- 2}$ por $1$ .

$y ({(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y ({(3 y^{2} - x)}^{- 2} \cdot 1)$

Paso 3.7

Multiplica ${(3 y^{2} - x)}^{- 2}$ por $1$ .

$y {(3 y^{2} - x)}^{- 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Paso 4.2

Combina $y$ y $\frac{1}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$ .

$\frac{y}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$