Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Paso 1.1.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.5.3

Reordena los términos.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.6

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x$

Paso 1.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

Paso 1.6

Combina los términos.

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Paso 1.6.1

Para escribir $- 2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

Paso 1.6.2

Combina $- 2 x$ y $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (\frac{- 2 x (2 \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

Paso 1.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} x$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 1} 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 2.5

Mueve el término $2 \cdot 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 2.7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 2.9

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Paso 4.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Paso 4.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Paso 4.1.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Paso 4.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Paso 4.1.4

Suma $- 4$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Paso 4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1} \cdot 1$

Paso 4.3

Divide $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 3 \cdot 1$

Paso 4.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot 1$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$- 1.5$