Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - x - 5}{x + 2} d x$

Paso 1

Divide $x^{2} - x - 5$ por $x + 2$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$x$

$5$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$6$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x - 6$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$
							+	$1$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{1}^{2} x - 3 + \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 5

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 5.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Paso 5.3

Suma $1$ y $2$ .

$u_{lower} = 3$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Paso 5.5

Suma $2$ y $2$ .

$u_{upper} = 4$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{3}^{4} \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Paso 7

Combina $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ y $- 3 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Paso 8.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $4$ y en $3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$2 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.5

Resta $6$ de $2$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.7

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.8

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.9

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.10

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 - \frac{1 - 3 \cdot 2}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.12.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$- 4 - \frac{1 - 6}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.12.2

Resta $6$ de $1$ .

$- 4 - \frac{- 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 4 - - \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 4 + 1 (\frac{5}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.15

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$- 4 + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.16

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.17

Combina $- 4$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 \cdot 2 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.19

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.19.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.19.2

Suma $- 8$ y $5$ .

$\frac{- 3}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Paso 8.3.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} + \ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)$

Paso 9

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{| 3 |})$

Paso 10.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Forma decimal:

$- 1.21231792 \dots$

Paso 12