Cálculo Ejemplos

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ como $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ .

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

Paso 4.2

Expande $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Paso 4.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $e^{3 x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

Paso 4.3.1.3.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Paso 4.3.2

Suma $2 e^{3 x}$ y $2 e^{3 x}$ .

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Paso 7

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Paso 8

Sea $u_{1} = 3 x$ . Entonces $d u_{1} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Deja $u_{1} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 8.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Paso 9

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $4$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Paso 12

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Paso 13

Sea $u_{2} = 6 x$ . Entonces $d u_{2} = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Deja $u_{2} = 6 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 13.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 13.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 13.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

Paso 14

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{6}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Paso 15

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 16

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 17

Simplifica.

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Paso 18

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Paso 18.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $6 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$