Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 x - 2}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x - 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{u}{u^{2}} d u$

Paso 2

Cancela el factor común de $u$ y $u^{2}$ .

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Paso 2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1}}{u^{2}} d u$

Paso 2.2

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$\int \frac{u \cdot 1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Paso 2.3.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{u} d u$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$\ln (| 2 x - 1 |) + C$