Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $- x^{- 1}$ en $t$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

Paso 5.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Factoriza $- 1$ de $- t^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

Paso 5.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

Paso 5.3.4

Reescribe $- (t^{- 1} - 1)$ como $- 1 (t^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

Paso 5.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Paso 6.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 6.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{t}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 6.6

Evalúa el límite.

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Paso 6.6.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 6.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Paso 6.6.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 6.6.2.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 6.6.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Paso 6.6.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$