Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{3}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{10} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.5

Combina $\frac{15}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $15$ y $10$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $5$ de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{4}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2.5

Combina $\frac{12}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 1.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.2.6.2.4

Divide $6 x^{3}$ por $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $6 x$ de $12 x^{2}$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $6 x$ de $6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $\frac{3}{10}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $\frac{3}{10} \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Combina $\frac{3}{10}$ y $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

Paso 3.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.3.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

Paso 3.3.2.2.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

Paso 3.3.2.2.4

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

Paso 3.3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

Paso 3.3.2.2.6

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Paso 3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

Paso 3.3.2.4.2

Suma $- 3$ y $10$ .

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

Paso 3.3.2.4.3

Resta $10$ de $7$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

Paso 3.3.2.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

Paso 3.3.2.5

La respuesta final es $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ es $(- 1, - \frac{3}{10})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, - \frac{3}{10})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $6$ por $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $12$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $6$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 7.986$ y $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

Paso 5.2.2.2

Resta $6.6$ de $6.534$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.066$ .

$- 0.066$

Paso 5.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $- 0.066$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5.4

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5.5

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.6

Combina $3$ y $\frac{- 1}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.9.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.11

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.14

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.14.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.14.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.14.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.15.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

Paso 6.2.1.15.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Paso 6.2.1.15.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Paso 6.2.1.15.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

Paso 6.2.1.16

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 6.2.2.1

Escribe $3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

Paso 6.2.2.4

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.5.1

Suma $- 3$ y $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

Paso 6.2.5.2

Resta $12$ de $9$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Paso 6.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Paso 6.3

En $- \frac{1}{2}$ , la segunda derivada es $- 0.75$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 1, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Paso 7.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $6$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.2.2.1

Suma $0.006$ y $0.12$ .

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

Paso 7.2.2.2

Suma $0.126$ y $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.726$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.726$ .

$0.726$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.726$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Paso 9