Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16}{x + 3} d x$

Paso 1

Divide $x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16$ por $x + 3$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + 3 x^{3}$ .

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{3} - 15 x^{2}$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

Paso 1.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

Paso 1.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

Paso 1.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Paso 1.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} + 9 x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

Paso 1.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

Paso 1.16

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$16$

Paso 1.17

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - \frac{16}{x + 3} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Paso 4

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \frac{16}{x + 3} d x$

Paso 9

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Paso 11

Sea $u = x + 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 11.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 12

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 (\ln (| u |) + C)$

Paso 14

Simplifica.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| u |) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$