Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{40} {(4 x - 1)}^{5}}{{(2 x + 3)}^{45}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 2.3

Mueve el exponente $40$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el exponente $5$ de ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 4.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Mueve el exponente $45$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 6.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 6.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 6.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Paso 6.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{45}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Paso 8.1.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Paso 8.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{2^{40} {(4 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{2^{40} {(4 + 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Paso 8.1.5

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{2^{40} \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Paso 8.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $40$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Paso 8.1.7

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Paso 8.2.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 0)}^{45}}$

Paso 8.2.3

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{2^{45}}$

Paso 8.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $45$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{35184372088832}$

Paso 8.3

Multiplica $1099511627776$ por $1024$ .

$\frac{1125899906842624}{35184372088832}$

Paso 8.4

Divide $1125899906842624$ por $35184372088832$ .

$32$