Cálculo Ejemplos

$\int x \ln (1 + x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (1 + x)$ y $d v = x$ .

$\ln (1 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (1 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.2

Combina $\ln (1 + x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 4

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Paso 5

Divide $x^{2}$ por $x + 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Paso 5.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 9

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 9.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (1 + x)$ .

$\frac{\ln (1 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Paso 11.2.2

Combina $\frac{\ln (1 + x)}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Paso 11.2.3

Para escribir $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 11.2.4

Combina $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Paso 11.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Paso 11.2.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Paso 11.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.8

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 11.2.9.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 11.2.9.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Para escribir $\ln (| x + 1 |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Paso 13.2

Combina $\ln (| x + 1 |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Paso 13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Paso 13.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| x + 1 |)$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

Paso 13.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Paso 13.6

Multiplica $- - x$ .

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Paso 13.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Paso 13.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

Paso 15

Reescribe $\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$ como $\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Suma $\ln (1 + x) x^{2}$ y $\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ .

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Paso 16.1.1

Reordena $\ln (x + 1)$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + x^{2} \ln (x + 1) + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Paso 16.1.2

Para escribir $x^{2} \ln (x + 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + x^{2} \ln (x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Paso 16.1.3

Combina $x^{2} \ln (x + 1)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{x^{2} \ln (x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Paso 16.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (x + \frac{x^{2} \ln (x + 1) \cdot 2 - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Paso 16.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} \ln (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2} + C$

Paso 17.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2} + C$

Paso 17.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ .

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Paso 17.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 17.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{4} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} (2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)) + C$