Cálculo Ejemplos

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Paso 1

Escribe $e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ como una función.

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica por $1$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

Paso 4.1.2

Separa las fracciones.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

Paso 4.1.3

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 4.1.4

Divide $e^{- x}$ por $1$ .

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Paso 4.4

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $e^{- x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

Paso 4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

Paso 4.4.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

Paso 4.5

Simplifica $e^{0} \sec^{2} (x)$ .

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 7

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 8

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

Paso 9

Simplifica.

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$