Cálculo Ejemplos

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{2} + 1}{x}$ .

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Paso 5

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Paso 7

Expande ${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ .

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Paso 7.1

Reescribe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Paso 7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Paso 7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.8

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.10

Suma $2$ y $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.12

Resta $2$ de $4$ .

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.13

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.15

Resta $2$ de $2$ .

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.16

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.17

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.19

Resta $2$ de $2$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.20

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.21

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

Paso 7.22

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

Paso 7.23

Suma $1$ y $1$ .

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

Paso 7.24

Reordena $2$ y $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Paso 12.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$