Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{8 (x^{4} - 9)}{x^{2} - 3}$

Paso 1

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.1.3

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \sqrt{3}$ para $x$ .

$8 \frac{{(- \sqrt{3})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{{(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$8 \frac{1 {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Multiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$8 \frac{{\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 2.1.2.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$8 \frac{3^{\frac{4}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.4.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.2.3.1.4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.3.1.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$8 \frac{3^{\frac{2}{1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.4.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$8 \frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$8 \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$8 \frac{9 - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $9$ de $9$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Paso 2.1.3.1.3

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \sqrt{3}$ para $x$ .

$8 \frac{0}{{(- \sqrt{3})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$8 \frac{0}{1 {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3.1.3

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$8 \frac{0}{{\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.3.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{0}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$8 \frac{0}{3^{1} - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3.1.4.5

Evalúa el exponente.

$8 \frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Paso 2.1.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$8 \frac{0}{3 - 3}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$8 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$8 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$8 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3} = lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Paso 2.3.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Paso 2.3.5

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Paso 2.3.8

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + 0}$

Paso 2.3.9

Suma $2 x$ y $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x}$

Paso 2.4

Reduce.

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.4.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Paso 2.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 (x)}$

Paso 2.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Paso 2.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{3}}{x}$

Paso 2.4.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x}$

Paso 2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x^{1}}$

Paso 2.4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Paso 2.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Paso 2.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{2}}{1}$

Paso 2.4.2.2.5

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} 2 x^{2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$8 \cdot 2 lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2}$

Paso 3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$8 \cdot 2 {(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \sqrt{3}$ para $x$ .

$8 \cdot 2 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$16 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Paso 5.2

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$16 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Paso 5.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$16 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Paso 5.4

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$16 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 5.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 5.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 5.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 5.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.4.1

Cancela el factor común.

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 5.5.4.2

Reescribe la expresión.

$16 \cdot 3^{1}$

Paso 5.5.5

Evalúa el exponente.

$16 \cdot 3$

Paso 5.6

Multiplica $16$ por $3$ .

$48$