Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.4.5.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.7

Simplifica.

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Paso 1.5.2.1.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.5.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.7.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.1.8.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.8.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.5.2.1.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.2.2

Suma $- 4 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.2.3

Suma $- 4 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.3

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $- x + 1$ y ${(x - 1)}^{4}$ .

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.4.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.4.4

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.4.5

Factoriza $x - 1$ de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.5.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.6.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.5.4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.5.4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.5.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.3.3

Multiplica ${(x - 1)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.5.2

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.5.2.2

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.5.2.3

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Factoriza ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.10

Simplifica los términos.

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Paso 2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.10.3

Resta $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.10.4

Combina $- 2$ y $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.10.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.3

Factoriza $2$ de $- 4 x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.3.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.7

Reescribe $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.11.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Paso 2.11.10

Multiplica $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.4

Diferencia.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.4.5.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.2.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.7

Simplifica.

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Paso 4.1.5.2.1.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.2.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.7.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.2.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.2.1.8.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.8.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.1.5.2.1.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Paso 4.1.5.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.2.2

Suma $- 4 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.2.3

Suma $- 4 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.3

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 4.1.5.3.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.3.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.4

Cancela el factor común de $- x + 1$ y ${(x - 1)}^{4}$ .

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Paso 4.1.5.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.4.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.4.4

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.4.5

Factoriza $x - 1$ de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 4.1.5.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.5.4.6.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 4.1.5.4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 4.1.5.4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 4.1.5.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 4.1.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (2 (0) + 1)}{{((0) - 1)}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{2 (0 + 1)}{{(0 - 1)}^{4}}$

Paso 9.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 - 1)}^{4}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{4}}$

Paso 9.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{1}$

Paso 9.3.2

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.2.1

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 11.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Paso 11.2.3

Divide $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

Paso 13