Cálculo Ejemplos

$\int (\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 4.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

Paso 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 4} + C$

Paso 10.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{12} + C$

Paso 10.2.4

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 (x^{\frac{3}{2}})}{12} + C$

Paso 10.2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.5.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

Paso 10.2.5.2

Cancela el factor común.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

Paso 10.2.5.3

Reescribe la expresión.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$