Cálculo Ejemplos

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$

Paso 1

Escribe $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ como una función.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 4.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Paso 5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 9.3

Multiplica $\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ por $1$ .

$\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 13

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 13.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 13.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 13.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 13.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 13.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 14

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 15

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 16

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Paso 17

Simplifica.

$u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Paso 18

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 18.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Paso 18.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

Paso 18.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Combina $2$ y $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Paso 19.2

Combina $\sin (\frac{2 x}{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 20.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Paso 20.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + C$

Paso 20.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Paso 21

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$