Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2.5

Combina $\frac{- 3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.2.6.2.4

Divide $- x^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- x^{2} - 9 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} - 18 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x - 18 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 x - 18$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x - 18$ .

$- 2 x - 18$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 x - 18 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2 x - 18 = 0$

Paso 2.2

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = 18$

Paso 2.3

Divide cada término en $- 2 x = 18$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 2 x = 18$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{18}{- 2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $18$ por $- 2$ .

$x = - 9$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 9$ en $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9$ en la expresión.

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $3$ .

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 729$ .

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 243$ .

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 9$ por ${(- 9)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1.4.1

Multiplica $- 9$ por ${(- 9)}^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1.4.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $1$ .

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

Paso 3.1.2.1.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.5

Eleva $- 9$ a la potencia de $3$ .

$f (- 9) = 243 - 729$

Paso 3.1.2.2

Resta $729$ de $243$ .

$f (- 9) = - 486$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $- 486$ .

$- 486$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 9$ en $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ es $(- 9, - 486)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 9, - 486)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 9)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9.1$ en la expresión.

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

Paso 5.2.2

Resta $18$ de $18.2$ .

$f'' (- 9.1) = 0.2$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0.2$ .

$0.2$

Paso 5.3

En $- 9.1$ , la segunda derivada es $0.2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 9)$ .

Incremento en $(- \infty, - 9)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 9, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8.9$ en la expresión.

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

Paso 6.2.2

Resta $18$ de $17.8$ .

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.2$ .

$- 0.2$

Paso 6.3

En $- 8.9$ , la segunda derivada es $- 0.2$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 9, \infty)$ .

Decrecimiento en $(- 9, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 9, - 486)$ .

$(- 9, - 486)$

Paso 8