Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{8} - 1 (\frac{2}{3}) k - 1$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe $- 1 (\frac{2}{3})$ como $- (\frac{2}{3})$ .

$- (\frac{2}{3}) \cdot k - 1$

Paso 1.1.2

Combina $k$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{k \cdot 2}{3} - 1$

Paso 1.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $k$ .

$- \frac{2 k}{3} - 1$

Paso 1.2

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1 = \sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} + \sum_{k = 1}^{8} - 1$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $- \frac{2}{3}$ fuera de la suma.

$(- \frac{2}{3}) \sum_{k = 1}^{8} k$

Paso 3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(- \frac{2}{3}) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1.1

Suma $8$ y $1$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{8 \cdot 9}{2}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $8$ por $9$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Paso 3.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3} \cdot 72$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $3$ de $72$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 (24))$

Paso 3.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Paso 3.4.3.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 24$

Paso 3.4.4

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$- 24$

Paso 4

Evalúa $\sum_{k = 1}^{8} - 1$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(- 1) (8)$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$- 24 - 8$

Paso 6

Resta $8$ de $- 24$ .

$- 32$