Cálculo Ejemplos

$\int x (x + 2) (4 x - 1) d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x - 1$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + 2) u \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Paso 2.2

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1 + 8}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Paso 2.4.2

Suma $1$ y $8$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) u \frac{1}{4} d u$

Paso 2.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) + \frac{1}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4})) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4})) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{u}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.8

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.9

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.11

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{u^{2}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.12

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{2}}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.13

Multiplica $\frac{u^{2}}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{2} u}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.14

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{2} u^{1}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{2 + 1}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.16

Suma $2$ y $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.17

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.18

Multiplica $\frac{u}{4}$ por $\frac{9}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.19

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.20

Multiplica $\frac{u \cdot 9}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.21

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.22

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.23

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.24

Multiplica $\frac{u}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u \cdot u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.25

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1} u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.26

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1} u^{1}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.27

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.28

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.29

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

Paso 3.30

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{9}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Paso 3.31

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{u}{4} d u$

Paso 3.32

Multiplica $\frac{9}{16}$ por $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{16 \cdot 4} d u$

Paso 3.33

Multiplica $16$ por $4$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve $9$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 \cdot u \cdot u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Paso 4.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 (u^{1} u)}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Paso 4.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 (u^{1} u^{1})}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 u^{1 + 1}}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 u^{2}}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{u^{3}}{64} d u + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{64}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{64}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{64} \int u^{3} d u + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{9}{64}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{9}{64}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} \int u^{2} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{64}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{64}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} \int u^{2} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{9 u}{64} d u$

Paso 12

Dado que $\frac{9}{64}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{9}{64}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{9}{64} \int u d u$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2

Simplifica.

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Paso 14.2.1

Para escribir $\frac{3 u^{3}}{64}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3}}{64} \cdot \frac{3}{3} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $192$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 14.2.2.1

Multiplica $\frac{3 u^{3}}{64}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3}{64 \cdot 3} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.2.2

Multiplica $64$ por $3$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3}{192} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3 + u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{9 u^{3} + u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.5

Suma $9 u^{3}$ y $u^{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{10 u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.6

Cancela el factor común de $10$ y $192$ .

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Paso 14.2.6.1

Factoriza $2$ de $10 u^{3}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $192$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{2 (96)} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{2 \cdot 96} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Paso 14.2.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9}{64} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

Paso 14.2.8

Multiplica $\frac{9}{64}$ por $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9 u^{2}}{64 \cdot 2} + C$

Paso 14.2.9

Multiplica $64$ por $2$ .

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9 u^{2}}{128} + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{4}}{256} + \frac{5 {(4 x - 1)}^{3}}{96} + \frac{9 {(4 x - 1)}^{2}}{128} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{256} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{5}{96} {(4 x - 1)}^{3} + \frac{9}{128} {(4 x - 1)}^{2} + C$