Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Paso 3

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Paso 4

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

Paso 5

Sea $u = 5 t$ . Entonces $d u = 5 d t$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 5 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Paso 5.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 5 t$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Paso 5.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 5 t$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Paso 5.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Paso 6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Paso 8.3

Multiplica $\int_{0}^{5} e^{u} d u$ por $1$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $e^{t}$ en $1$ y en $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

Paso 10.2

Evalúa $e^{u}$ en $5$ y en $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Simplifica.

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Paso 10.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Paso 10.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Paso 10.3.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

Paso 10.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1$

Paso 10.3.6

Resta $1$ de $- 1$ .

$e + e^{5} - 2$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e + e^{5} - 2$

Forma decimal:

$149.13144093 \dots$

Paso 12