Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- \frac{1}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{15} x^{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- \frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{15}) x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $- 6$ y $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2.5

Combina $\frac{- 6}{15}$ y $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2.6

Cancela el factor común de $- 6$ y $15$ .

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Paso 1.1.1.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 (4 x^{3})$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $- \frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x^{5}}{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.4

Combina $- 5$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.5

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.6

Combina $\frac{- 10}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.7

Cancela el factor común de $- 10$ y $5$ .

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Paso 1.1.2.2.7.1

Factoriza $5$ de $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.2.7.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2.7.2.4

Divide $- 2 x^{4}$ por $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{4} + 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 2 x^{4} + 24 (3 x^{2})$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$f'' (x) = - 2 x^{4} + 72 x^{2}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{4} + 72 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} + 72 x^{2}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 {(x^{2})}^{2} + 72 x^{2} = 0$

Paso 1.2.2.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 2 u^{2} + 72 u = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2} + 72 u$ .

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Paso 1.2.2.3.1

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 72 u = 0$

Paso 1.2.2.3.2

Factoriza $2 u$ de $72 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (36) = 0$

Paso 1.2.2.3.3

Factoriza $2 u$ de $2 u (- u) + 2 u (36)$ .

$2 u (- u + 36) = 0$

Paso 1.2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 36 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $- x^{2} + 36$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $- x^{2} + 36$ igual a $0$ .

$- x^{2} + 36 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $- x^{2} + 36 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 36$

Paso 1.2.5.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 36$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 36$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 36}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 36}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.2.3.1

Divide $- 36$ por $- 1$ .

$x^{2} = 36$

Paso 1.2.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{36}$

Paso 1.2.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{36}$ .

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Paso 1.2.5.2.4.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Paso 1.2.5.2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 6$

Paso 1.2.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 6$

Paso 1.2.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 6$

Paso 1.2.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 6, - 6$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6, - 6$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 6)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8$ en la expresión.

$f'' (- 8) = - 2 {(- 8)}^{4} + 72 {(- 8)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(- 8)}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $4096$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 {(- 8)}^{2}$

Paso 4.2.1.3

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $72$ por $64$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 4608$

Paso 4.2.2

Suma $- 8192$ y $4608$ .

$f'' (- 8) = - 3584$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 3584$ .

$- 3584$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 6)$ porque $f'' (- 8)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 6)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 6, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{4} + 72 {(- 3)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(- 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $81$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 72 {(- 3)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 72 \cdot 9$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $72$ por $9$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 648$

Paso 5.2.2

Suma $- 162$ y $648$ .

$f'' (- 3) = 486$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $486$ .

$486$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 6, 0)$ porque $f'' (- 3)$ es positiva.

Convexo en $(- 6, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, 6)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = - 2 {(3)}^{4} + 72 {(3)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(3)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $81$ .

$f'' (3) = - 162 + 72 {(3)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = - 162 + 72 \cdot 9$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $72$ por $9$ .

$f'' (3) = - 162 + 648$

Paso 6.2.2

Suma $- 162$ y $648$ .

$f'' (3) = 486$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $486$ .

$486$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, 6)$ porque $f'' (3)$ es positiva.

Convexo en $(0, 6)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(6, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$f'' (8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $4096$ .

$f'' (8) = - 8192 + 72 {(8)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f'' (8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $72$ por $64$ .

$f'' (8) = - 8192 + 4608$

Paso 7.2.2

Suma $- 8192$ y $4608$ .

$f'' (8) = - 3584$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 3584$ .

$- 3584$

Paso 7.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(6, \infty)$ porque $f'' (8)$ es negativa.

Cóncavo en $(6, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 6)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 6, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Convexo en $(0, 6)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(6, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 9