Cálculo Ejemplos

$h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} + 20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $h (x)$ con respecto a $x$ es $20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$20 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $20 x^{2}$ de $20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $20 x^{2}$ de $20 x^{3}$ .

$20 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $20 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (3) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $20 x^{2}$ de $20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (3)$ .

$20 x^{2} (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $20 x^{2} (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$h (0) = {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$h (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$h (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$h (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$h (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $- 3$ en $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$h (- 3) = {(- 3)}^{5} + 5 {(- 3)}^{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$h (- 3) = - 243 + 5 {(- 3)}^{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$h (- 3) = - 243 + 5 \cdot 81$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $5$ por $81$ .

$h (- 3) = - 243 + 405$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 243$ y $405$ .

$h (- 3) = 162$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $162$ .

$162$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 3$ en $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ es $(- 3, 162)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 3, 162)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 3, 162)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.1$ en la expresión.

$h'' (- 3.1) = 20 {(- 3.1)}^{3} + 60 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $3$ .

$h'' (- 3.1) = 20 \cdot - 29.791 + 60 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 29.791$ .

$h'' (- 3.1) = - 595.82 + 60 {(- 3.1)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 3.1$ a la potencia de $2$ .

$h'' (- 3.1) = - 595.82 + 60 \cdot 9.61$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $60$ por $9.61$ .

$h'' (- 3.1) = - 595.82 + 576.6$

Paso 5.2.2

Suma $- 595.82$ y $576.6$ .

$h'' (- 3.1) = - 19.22$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 19.22$ .

$- 19.22$

Paso 5.3

En $- 3.1$ , la segunda derivada es $- 19.22$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $h'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (- \frac{27}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (- \frac{27}{8}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{27}{8}$ al numerador.

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (\frac{- 27}{8}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 4 (5) (\frac{- 27}{8}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5.3

Factoriza $4$ de $8$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{- 27}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5.4

Cancela el factor común.

$h'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{- 27}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.5.5

Reescribe la expresión.

$h'' (- \frac{3}{2}) = 5 (\frac{- 27}{2}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Combina $5$ y $\frac{- 27}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot - 27}{2} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $5$ por $- 27$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135}{2} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 6.2.1.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.9.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Paso 6.2.1.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 6.2.1.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Paso 6.2.1.11

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.12

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (\frac{9}{2^{2}})$

Paso 6.2.1.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (\frac{9}{4})$

Paso 6.2.1.14

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.14.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 4 (15) (\frac{9}{4})$

Paso 6.2.1.14.2

Cancela el factor común.

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{9}{4}))$

Paso 6.2.1.14.3

Reescribe la expresión.

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 15 \cdot 9$

Paso 6.2.1.15

Multiplica $15$ por $9$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 135$

Paso 6.2.2

Para escribir $135$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 135 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina $135$ y $\frac{2}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + \frac{135 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135 + 135 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $135$ por $2$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135 + 270}{2}$

Paso 6.2.5.2

Suma $- 135$ y $270$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

Paso 6.3

En $- \frac{3}{2}$ , la segunda derivada es $67.5$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 3, 0)$ .

Incremento en $(- 3, 0)$ ya que $h'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$h'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$h'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $20$ por $0.001$ .

$h'' (0.1) = 0.02 + 60 {(0.1)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$h'' (0.1) = 0.02 + 60 \cdot 0.01$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $60$ por $0.01$ .

$h'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

Paso 7.2.2

Suma $0.02$ y $0.6$ .

$h'' (0.1) = 0.62$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.62$ .

$0.62$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.62$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $h'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 3, 162)$ .

$(- 3, 162)$

Paso 9