Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Paso 3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Paso 3.2

Divide $e^{y}$ por $1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Paso 6

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1.1

Evalúa $\ln (| y |)$ en $3$ y en $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

Paso 7.1.2

Evalúa $e^{y}$ en $3$ y en $1$ .

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

Paso 7.1.3

Simplifica.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

Paso 7.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Paso 7.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

Paso 7.3.3

Divide $3$ por $1$ .

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Forma decimal:

$19.56447967 \dots$

Paso 9