Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Paso 4

Sea $u = 3 x + 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{u^{5}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

Paso 5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{5}$ .

$2 \int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u)$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Paso 7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.2.1

Mueve $u^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Paso 7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{- 5} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 5}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ como $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

Paso 9.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u^{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{2}{3 (4 u^{4})} + C$

Paso 9.2.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$- \frac{2}{12 u^{4}} + C$

Paso 9.2.5

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 9.2.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{12 u^{4}} + C$

Paso 9.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $12 u^{4}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (6 u^{4})} + C$

Paso 9.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (6 u^{4})} + C$

Paso 9.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{6 u^{4}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$