Cálculo Ejemplos

$\int \frac{{(4 + 2 \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 1.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 2.1.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 2.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 2.1.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.1.3.9

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.1.3.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.3.11

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.3.12

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.4

Suma $0$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$