Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.6

Combina fracciones.

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Paso 1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.6.3

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.9

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Paso 1.10

Combina fracciones.

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Paso 1.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Paso 1.10.2

Combina $2$ y $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Paso 1.10.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Paso 1.10.4

Combina $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ y $x$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.3.3

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.8.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.9

Combina fracciones.

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Paso 2.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.9.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.9.3

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.9.4

Combina $\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.12

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.13

Combina fracciones.

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Paso 2.13.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.13.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.13.3

Combina $- 2$ y $\frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.13.4

Combina $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.17

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.19

Para escribir ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.20

Combina ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.22

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.22.1

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.22.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.22.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.22.4

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.22.5

Divide $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.23

Simplifica ${(x^{2} - 4)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.24

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.25

Reescribe $\frac{\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.26

Multiplica $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.27

Multiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.27.1

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}$

Paso 2.27.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Paso 2.27.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Paso 2.27.4

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.28

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 2.29

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30

Simplifica.

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Paso 2.30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 4 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.30.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.30.3.1.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30.3.1.2

Multiplica $4 (3 \cdot - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.30.3.1.2.1

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30.3.2

Resta $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 48$ .

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Paso 2.30.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30.4.2

Factoriza $4$ de $- 48$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 12}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.30.4.3

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 12$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 12)}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Paso 4.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.6

Combina fracciones.

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Paso 4.1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.6.3

Mueve ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Paso 4.1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 4.1.9

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Paso 4.1.10

Combina fracciones.

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Paso 4.1.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Paso 4.1.10.2

Combina $2$ y $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Paso 4.1.10.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Paso 4.1.10.4

Combina $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x = 0$

Paso 5.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.6

Multiplica $27$ por $- 4$ .

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x^{2} - 108 = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Suma $108$ a ambos lados de la ecuación.

$27 x^{2} = 108$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en $27 x^{2} = 108$ por $27$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en $27 x^{2} = 108$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Paso 6.3.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{108}{27}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.3.1

Divide $108$ por $27$ .

$x^{2} = 4$

Paso 6.3.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 6.3.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 6.3.3.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 6.3.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 6.3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 6.3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 6.3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 6.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 2, 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 12)}{9 {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4 (0 - 12)}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.2

Resta $12$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 9.3.1

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$\frac{- 48}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.3.2

Factoriza $3$ de $- 48$ .

$\frac{3 (- 16)}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.1

Factoriza $3$ de $9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 (- 16)}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 9.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 16}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 9.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = {(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f (0) = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.3

La respuesta final es ${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {(4 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{4}}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0}$

Paso 13.3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Paso 13.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la primera derivada $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = \frac{4 (- 4)}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.2.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.2.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.2.2.2.2

Resta $4$ de $16$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 4) = - \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.2.2.4

La respuesta final es $- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $- 1$ , del intervalo $(- 2, 0)$ en la primera derivada $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.3.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.2.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.3.2.4

La respuesta final es $- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, 2)$ en la primera derivada $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{4 (1)}{3 {({(1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.4.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.4.2.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.4.2.3

La respuesta final es $\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.5

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(2, \infty)$ en la primera derivada $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{4 (4)}{3 {({(4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.5.2.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(4^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 14.5.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.5.2.2.2

Resta $4$ de $16$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.5.2.3

La respuesta final es $\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - 2$ , $x = - 2$ es un mínimo local.

$x = - 2$ es un mínimo local

Paso 14.7

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 14.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 2$ , $x = 2$ es un mínimo local.

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 14.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 2$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 2$ es un mínimo local

$x = - 2$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 15