Cálculo Ejemplos

$5 x^{2} (x + 47)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} (x + 47)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 47$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 47$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.3

Como $47$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $47$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

Paso 1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 47$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

Paso 1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Paso 1.4.4

Combina los términos.

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Paso 1.4.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Paso 1.4.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Paso 1.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Paso 1.4.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Paso 1.4.4.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

Paso 1.4.4.6

Multiplica $2$ por $47$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

Paso 1.4.4.7

Multiplica $94$ por $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

Paso 1.4.4.8

Suma $5 x^{2}$ y $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x^{2} + 470 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{2}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [470 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $470$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $470 x$ con respecto a $x$ es $470 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 x + 470 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $470$ por $1$ .

$f'' (x) = 30 x + 470$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $30 x + 470$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

Paso 3.2.3

Multiplica $30$ por $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $470$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $470$ con respecto a $x$ es $0$ .

$30 + 0$

Paso 3.3.2

Suma $30$ y $0$ .

$f''' (x) = 30$