Cálculo Ejemplos

$\ln (y) + \frac{x}{y} = 2021$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (y) + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2021)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (y) + \frac{x}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y' + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Combina los términos.

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Paso 2.4.1.1

Para escribir $\frac{y'}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $y^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $\frac{y'}{y}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' y}{y \cdot y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y' y}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y' y + y - x y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}}$

Paso 3

Como $2021$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2021$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$y y' - x y' + y = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y y' - x y' = - y$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $y y' - x y'$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $y'$ de $y y'$ .

$y' y - x y' = - y$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - y$

Paso 5.2.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - y$

Paso 5.2.3

Divide cada término en $y' (y - x) = - y$ por $y - x$ y simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Divide cada término en $y' (y - x) = - y$ por $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común de $y - x$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Paso 5.2.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{y - x}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{y - x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y - x}$