Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{- x}$ y $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Paso 1.4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Paso 1.4.3.3

Reescribe $- 1 (x^{2} + 2 x)$ como $- (x^{2} + 2 x)$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Paso 1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Paso 1.5.4

Combina los términos.

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Paso 1.5.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Paso 1.5.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Paso 1.5.4.3

Resta $2 x e^{- x}$ de $e^{- x} (2 x)$ .

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Paso 1.5.4.3.1

Mueve $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Paso 1.5.4.3.2

Resta $2 x e^{- x}$ de $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Paso 1.5.4.4

Suma $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ y $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Paso 1.5.5

Reordena los términos.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Paso 1.5.6

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 2.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 2.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 2.3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- e^{- x})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Paso 2.4.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Paso 2.4.4

Reordena los factores en $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{- x}$ y $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4.1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.1.4

Diferencia.

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Paso 4.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 4.1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Paso 4.1.4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Paso 4.1.4.3.3

Reescribe $- 1 (x^{2} + 2 x)$ como $- (x^{2} + 2 x)$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Paso 4.1.5

Simplifica.

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Paso 4.1.5.4

Combina los términos.

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Paso 4.1.5.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Paso 4.1.5.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Paso 4.1.5.4.3

Resta $2 x e^{- x}$ de $e^{- x} (2 x)$ .

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Paso 4.1.5.4.3.1

Mueve $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Paso 4.1.5.4.3.2

Resta $2 x e^{- x}$ de $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Paso 4.1.5.4.4

Suma $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ y $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Paso 4.1.5.5

Reordena los términos.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Paso 4.1.5.6

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Paso 5.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 e^{- x} = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $e^{- x}$ de $2 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2 = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x^{2} + 2 = 0$

Paso 5.4

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 5.5

Establece $- x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $- x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$- x^{2} + 2 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $- x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 2$

Paso 5.5.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Paso 5.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 5.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 5.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 5.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

${(\sqrt{2})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Paso 9.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.4.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Paso 9.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2^{1} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Paso 9.1.5

Evalúa el exponente.

$2 e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 9.2.1

Resta $2 e^{- \sqrt{2}}$ de $2 e^{- \sqrt{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

Paso 9.2.2

Suma $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ y $0$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Paso 10

$x = \sqrt{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \sqrt{2}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2}) = e^{- (\sqrt{2})} ({(\sqrt{2})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Paso 11.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{2}))$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Paso 11.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

Paso 11.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 \sqrt{2})$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 11.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} \cdot 2 + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Paso 11.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot e^{- \sqrt{2}} + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Paso 11.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$ .

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 13.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$2^{1} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.4.5

Evalúa el exponente.

$2 e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.5

Multiplica $- (- \sqrt{2})$ .

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Paso 13.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 e^{1 \sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.5.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.7

Multiplica $- (- \sqrt{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{1 \sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.7.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.8

Multiplica $- (- \sqrt{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{1 \sqrt{2}}$

Paso 13.1.8.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Paso 13.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 13.2.1

Resta $2 e^{\sqrt{2}}$ de $2 e^{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

Paso 13.2.2

Suma $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ y $0$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Paso 14

$x = - \sqrt{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{2}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = e^{- (- \sqrt{2})} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Multiplica $- (- \sqrt{2})$ .

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Paso 15.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{1 \sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (1 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 15.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Paso 15.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 - 2 \sqrt{2})$

Paso 15.2.3

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} \cdot 2 + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Paso 15.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Paso 15.2.4

La respuesta final es $2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$ .

$y = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$ .

$(\sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2})$ es un máximo local

$(- \sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2}))$ es un mínimo local

Paso 17