Cálculo Ejemplos

$y = arcsec (\cos (2 x))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arcsec (x)$ y $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $arcsec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ y $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Combina fracciones.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

Paso 3.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena $\cos^{2} (2 x)$ y $- 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

Paso 3.4.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

Paso 3.4.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ como $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Paso 3.4.6

Aplica la identidad pitagórica.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

Paso 3.4.7

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.7.1

Reordena $- 1$ y $\sin^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

Paso 3.4.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

Paso 3.4.7.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Paso 3.4.8

Cancela el factor común de $\sin (2 x)$ .

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Paso 3.4.8.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Paso 3.4.8.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

Paso 3.4.9

Separa las fracciones.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Paso 3.4.10

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

Paso 3.4.11

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{2}{i}$ por el conjugado de $i$ para hacer real el denominador.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

Paso 3.4.12

Multiplica.

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Paso 3.4.12.1

Combinar.

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

Paso 3.4.12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.12.2.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

Paso 3.4.12.2.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

Paso 3.4.12.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

Paso 3.4.12.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

Paso 3.4.12.2.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

Paso 3.4.13

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

Paso 3.4.14

Reescribe $- 1 \cdot (2 i)$ como $- (2 i)$ .

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

Paso 3.4.15

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- (- 2 i \sec (2 x))$

Paso 3.4.16

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 i \sec (2 x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 i \sec (2 x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$